题目

已知n为大于1的自然数,证明：(1+1/n)^n>2 数学归纳法,二项式定理皆可

提问时间：2021-04-08

答案

为解决这题,
有必要引进一个加强不等式：
【若n>=1 n为整数,x>=-1
我们有（1+x)^n>=1+nx
此即为伯努利不等式
证明如下：
用数学归纳法:
当n=1,上式成立,
设对n-1,有:(1+x)^(n-1)>=1+(n-1)x成立,
则
(1+x)^n=(1+x)^(n-1)(1+x)
>=[1+(n-1)x](1+x)
=1+(n-1)x+x+(n-1)x^2
>=1+nx 等号当且仅当n=1时
就是对一切的自然数,当
x>=-1,有 (1+x)^n>=1+nx
】
有了这个理论,
这个问题就直接证明了,
这是由于：取x=1/n时显然大于-1
此时
（1+1/n)^n>1+n*1/n=2
OK~