题目

已知三角形ABC的重心G和内心O的连线OG//BC,求证AB+CG=2BG

提问时间：2021-04-07

答案

在三角形ABC中,G是重心,I是内心,且IG∥BC.求证:AB+AC=2BC
连接AG、AI且延长分别交BC于D、E,连接IC,则AD为中线,AE、CI为角平分线．
∵GI∥BC,
∴ AI/IE=AG/GD=2．
在△CAE中,有 AC/CE=AI/IE=2,即AC=2CE,
同理AB=2BE．
∴AB+AC=2（BE+CE）=2BC．
或者,利用面积公式
连接AG并延长交BC于点D,连接AI并延长交BC与点F作IE⊥BC于E,AH⊥BC于H,则IE为内切圆I的半径,
设IE=r．
∵IG∥BC,
∴ IE/AH=IF/AF=DG/AD=1/3,即AH=3r．
∵ s△ABC=1/2BC•AH=1/2(AB+BC+CA)•r,故1/2BC•3r=12(AB+BC+CA)•r,
即2BC=AB+CA．