题目

已知点A（a,0）B(0,b)其中a>0,b>0直线ab与圆Cx^2+y^2-4x-4y+4=0相切,
1,求证（a-4)(b-4)=8
2,求线段AB的中点M的轨迹方程
3,求三角形AOB面积的最小值

提问时间：2021-04-07

答案

点A（a,0）B(0,b)
直线为y=-bx/a+b,bx+ay-ab=0
与圆相切,则圆心到直线的距离等于半径
x^2+y^2-4x-4y+4=0
(x-2)^2+(y-2)^2=4
圆心(2,2),半径为2
2=|2b+2a-ab|/√(a^2+b^2)
4a^2+4b^2=(2b+2a-ab)^2
8-4b-4a+ab=0
得（a-4)(b-4)=8
AB中点M为(a/2,b/2)
设M为(x,y)
2x=a,2y=b
代入（a-4)(b-4)=8
M轨迹方程为(2x-4)(2y-4)=8
4xy-8x-8y+8=0
xy-2x-2y+2=0
y=2+2/(x-2)
S△AOB=ab/2=2xy
S=(4x^2-4x)/(x-2)
当x=1,S=0则最小面积为0