题目

四棱锥P—ABCD底面为一直角梯形,BA⊥AD,CD⊥AD,侧面PAD⊥底...
四棱锥P—ABCD底面为一直角梯形,BA⊥AD,CD⊥AD,侧面PAD⊥底面ABCD.（1）求证：平面PCD⊥平面'PAD （2）若AB＝2,CD＝4,侧面PBC是一边长等于10的正三角形,求对角线AC与侧面PCD所成的角的正弦值.帮忙解下第二问,要详解

提问时间：2021-04-06

答案

∵面PAD⊥底面ABCD,面PAD∩底面ABCD=AD,
又BA⊥AD,CD⊥AD,∴BA⊥面PAD,CD⊥面PAD；
∴△PAB、△PDC均为Rt△,且有面PCD⊥面PAD.
在Rt△PAB中,PA=√（PB2-AB2）=√（100-4）=√96；
在Rt△PDC中,PD=√（PC2-CD2）=√（100-16）=√84；
在底面直角梯形ABCD中,作BE⊥CD于E,则有
BE=AD=√（BC2-CE2）=√（100-4）=√96；连接AC,
则AC=√（AD2+CD2）=√（96+16）=√112；因PA=AD,所以△PAD是等腰三角形.
此时作AF⊥PD于F,∵面PAD⊥面PCD,∴AF⊥面PCD；
连FC,则∠ACF即为AC与面PCD所成的角.
AF=√（AD2-FD2）=√（96-21）=√75；因△AFC是Rt△,
所以,sinACF=AF/AC=√75/√112
=5√（21）/28.