题目
如图,AB是半圆的直径,O为圆心,AD、BD是半圆的弦,且∠PDA=∠PBD.
(1)判断直线PD是否为⊙O的切线,并说明理由;
(2)如果∠BDE=60°,PD=
,求PA的长.
(1)判断直线PD是否为⊙O的切线,并说明理由;
(2)如果∠BDE=60°,PD=
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提问时间:2021-04-06
答案
(1)PD是⊙O的切线.理由如下:
∵AB为直径,
∵∠ADB=90°,
∴∠ADO+∠ODB=90°.
∵∠PDA=∠PBD=∠ODB,
∴∠ODA+∠PDA=90°.即∠PDO=90°.
∴PD是⊙O的切线.
(2)∵∠BDE=60°,∠ADB=90°,
∴∠PDA=180°-90°-60°=30°,
又PD为半圆的切线,所以∠PDO=90°,
∴∠ADO=60°,又OA=OD,
∴△ADO为等边三角形,∠AOD=60°.
在Rt△POD中,PD=
,
∴OD=1,OP=2,
PA=PO-OA=2-1=1.
∵AB为直径,
∵∠ADB=90°,
∴∠ADO+∠ODB=90°.
∵∠PDA=∠PBD=∠ODB,
∴∠ODA+∠PDA=90°.即∠PDO=90°.
∴PD是⊙O的切线.
(2)∵∠BDE=60°,∠ADB=90°,
∴∠PDA=180°-90°-60°=30°,
又PD为半圆的切线,所以∠PDO=90°,
∴∠ADO=60°,又OA=OD,
∴△ADO为等边三角形,∠AOD=60°.
在Rt△POD中,PD=
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∴OD=1,OP=2,
PA=PO-OA=2-1=1.
(1)要证是直线PD是为⊙O的切线,需证∠PDO=90°.因为AB为直径,所以∠ADO+∠ODB=90°,由∠PDA=∠PBD=∠ODB可得∠ODA+∠PDA=90°,即∠PDO=90°.
(2)根据已知可证△AOD为等边三角形,∠P=30°.在Rt△POD中运用三角函数可求解.
(2)根据已知可证△AOD为等边三角形,∠P=30°.在Rt△POD中运用三角函数可求解.
切线的判定.
此题考查了切线的判定及三角函数的有关计算等知识点,难度中等.要证某线是圆的切线,已知此线过圆上某点,连接圆心与这点(即为半径),再证垂直即可.
举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
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