题目

已知函数y=log1/2(x2-2x+a)的值域为R,求a的取值范围
为什么此时真数会取到所有的正数? 如果图像向右移动的话,值域依然是R,但是真数就不会取到全体实数了啊.? 求解! 还有判别式为什么是大于等于呢 不是小于等于么.

提问时间：2021-04-06

答案

记真数g(x)=x^2-2x+a
y的值域为R,那真数g(x)的值域就至少要包含所有正数,否则如果g(x)的值域不包括正数b,则y的值域也就不包括实数log1/2 b了.
当然,真数g(x)的值域除了包含所有正数外,也可以包含负数,0,只不过这些x值不属于y的定义域罢了.
事实上,g(x)要包含所有正数,那它也必包含有0,否则如果g(x)的最小值为c,且c>0,那么y也就不能取到R了.
所以g(x)包含有0的情况,相当于g(x)=0必有解了,这就是为啥需要判别式大于等于0.
而在判别式小于0的情况,g(x)与x轴无交点,它的最小值为c>0,就不能保证y的值域为R了.
至于你说的图像向右移动,是不改变值域的,那只是x值的改变,比如向右移到h个单位,则只是将g(x)变成g(x-h)而已,与g(x)及y的值域都无关.