题目

已知f(x)=(ax^2+1)/(bx+c)为奇函数,若关于x的不等式bf(x)≤2在[1,2]上恒成立,求a的取值范围
已知f(x)=(ax^2+1)/(bx+c)为奇函数,
若关于x的不等式bf(x)≤2在[1,2]上恒成立,求a的取值范围
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提问时间：2021-04-06

答案

因为f（x）是奇函数,所以f（-x）= -f（x）
f（-x）=（ax^2+1)/(-bx+c)= -[（ax^2+1)/(-bx+c)],可推出,c=0,b≠0
则,f（x）=（ax^2+1)/bx
bf（x）=（ax^2+1)/x= ax +1/x
第1种情况,a＞0,则bf（x）是一个对勾函数,(我不知道在这里怎么画上来,如果你不太熟悉,此时只需要 bf（1）≤2 且bf（2）≤2,可算出a≤¾,则0＜a≤¾；
第2种情况,a=0,bf（x）=1/x ,这个你应该真熟悉吧,这种情况可以；
第3种情况,a＜0,则ax在[1,2]上递减,1/x在[1,2]上也递减,所以bf（x）= ax +1/x 也递减,
此时只需,bf（1）≤2,可算出a≤1,则a＜0；
综合上诉3种情况,可得a≤¾.
这是我自己算的,