题目

已知：如图，在四边形ABCD中，AC平分∠BAD，CE⊥AB于E，且∠B+∠D=180°，求证：AE=AD+BE．

提问时间：2021-04-05

答案

证明：在AE上截取AM=AD，连接CM，
∵AC平分∠BAD，
∴∠1=∠2，
在△AMC和△ADC中

AC＝AC ∠1＝∠2 AD＝AM

，
∴△AMC≌△ADC（SAS），
∴∠3=∠D，
∵∠B+∠D=180°，∠3+∠4=180°，
∴∠4=∠B，
∴CM=CB，
∵CE⊥AB，
∴ME=EB（等腰三角形底边上的高线与底边上的中线重合），
∵AE=AM+ME，
∴AE=AD+BE．

首先在AE上截取AM=AD，连接CM，再证明△AMC≌△ADC，可得∠3=∠D，再根据∠B+∠D=180°，∠3+∠4=180°，可以证出∠4=∠B，根据等角对等边可证出CM=BC，再根据等腰三角形的性质：等腰三角形底边上的高线与底边上的中线重合可得到ME-BE，再利用等量代换可证出AE=AD+BE．

本题考点：全等三角形的判定与性质．

考点点评：此题主要考查了全等三角形的判定与性质，关键是正确做出辅助线，证出ME=BE．