题目

已知a，b，c，d都是实数，求证：（a²+b²）（c²+d²）≥（ac+bd）²．

提问时间：2021-04-05

答案

证法1：（分析法）要证（ac+bd）²≤（a²+b²）（c²+d²）成立，
即证：a²c²+b²d²+2abcd≤a²c²+a²d²+b²c²+b²d² 成立，
即证：2abcd≤a²d²+b²c² 成立，
即证：0≤a²d²+b²c²-2abcd=（ad+bc）²成立，
上式明显成立．
故（ac+bd）²≤（a²+b²）（c²+d²）．
证法2：（综合法）因为a²d²+b²c²≥2abcd（重要不等式），
所以（ac+bd）²=a²c²+b²d²+2abcd≤a²c²+a²d²+b²c²+b²d²=（a²+b²）（c²+d²）．
证法3：（作差法）因为（a²+b²）（c²+d²）-（ac+bd）²（2分）
=（a²c²+a²d²+b²c²+b²d²）-（a²c²+b²d²+2abcd）
=b²c²+a²d²-2abcd=（b²c²-a²d²）²≥0，
所以（ac+bd）²≤（a²+b²）（c²+d²）．