题目

已知函数f（x）=x²+2x+a和函数g(x)=2x+

x+1

，对任意x₁，总存在x₂使g（x₁）=f（x₂）成立，则实数a的取值范围是______．

提问时间：2021-04-05

答案

若对任意的x₁，总存在x₂使g（x₁）=f（x₂）成立成立，
只需函数y=g（x）的值域为函数y=f（x）的值域的子集．
∵g(x)=2x+

x+1

在[-1，+∞）上单调递增
∴g（x）≥-2
∵f（x）=x²+2x+a=（x+1）²+a-1
∴f（x）≥a-1
∴a-1≤-2
∴a≤-1
故答案为：（-∞，-1]

对于任意的x₁，总存在x₂使g（x₁）=f（x₂）成立成立，只需函数y=g（x）的值域为函数y=f（x）的值域的子集即可．

本题考点：二次函数的性质；函数恒成立问题．

考点点评：本题主要考查函数恒成立问题以及函数单调性的应用，属于对基本知识的考查，是基础题