题目

设函数f（x）=alnx-bx²（x＞0），若函数f（x）在x=1处与直线y=-

1

2

相切．
（1）求实数a，b的值；
（2）求函数f（x）在[

1

e

，e]上的最大值．

提问时间：2021-04-04

答案

（1）∵函数f（x）=alnx-bx2（x＞0），∴f′（x）=ax-2bx，∵函数f（x）在x=1处与直线y=-12相切，∴f′(1)＝a−2b＝0f(1)＝−b＝−12，解得a＝1b＝12；（2）f（x）=lnx-12x2，f′（x）=1−x2x，当1e≤x≤e时，令f'（...

（1）对f（x）进行求导，f′（x）欲求出切线方程，只须求出其斜率即可，故先利用导数求出在x=1处的导函数值，再结合导数的几何意义即可求出切线的斜率．列出关于a，b的方程求得a，b的值．
（2）研究闭区间上的最值问题，先求出函数的极值，比较极值和端点处的函数值的大小，最后确定出最大值．

本题考点：利用导数求闭区间上函数的最值．

考点点评：本小题主要考查函数单调性的应用、利用导数研究曲线上某点切线方程、导数在最大值、最小值问题中的应用、不等式的解法等基础知识，考查运算求解能力、化归与转化思想．属于中档题．