题目
如图,四边形ABCD为正方形,DE∥AC,AE=AC,AE与CD相交于F.
求证:CE=CF.
求证:CE=CF.
提问时间:2021-04-04
答案
证明:如图所示,顺时针旋转△ADE90°得到△ABG,连接CG.
∵∠ABG=∠ADE=90°+45°=135°,
∴B,G,D在一条直线上,
∴∠ABG=∠CBG=180°-45°=135°,
在△AGB与△CGB中,
,
∴△AGB≌△CGB(SAS),
∴AG=AC=GC=AE,
∴△AGC为等边三角形,
∵AC⊥BD(正方形的对角线互相垂直),
∴∠AGB=30°,
∴∠EAC=30°,
∵AE=AC,
∴∠AEC=∠ACE=
=75°,
又∵∠EFC=∠DFA=45°+30°=75°,
∴CE=CF.
∵∠ABG=∠ADE=90°+45°=135°,
∴B,G,D在一条直线上,
∴∠ABG=∠CBG=180°-45°=135°,
在△AGB与△CGB中,
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∴△AGB≌△CGB(SAS),
∴AG=AC=GC=AE,
∴△AGC为等边三角形,
∵AC⊥BD(正方形的对角线互相垂直),
∴∠AGB=30°,
∴∠EAC=30°,
∵AE=AC,
∴∠AEC=∠ACE=
180°-30° |
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又∵∠EFC=∠DFA=45°+30°=75°,
∴CE=CF.
把△ADE顺时针旋转90°得到△ABG,从而可得B、G、D三点在同一条直线上,然后可以证明△AGB与△CGB全等,根据全等三角形对应边相等可得AG=CG,所以△AGC为等边三角形,根据等边三角形的性质可以推出∠CEF=∠CFE=75°,从而得解.
正方形的性质;全等三角形的判定与性质;等腰三角形的判定;等边三角形的判定与性质.
本题综合考查了正方形的性质,全等三角形的判定,以及旋转变换的性质,根据旋转变换构造出图形是解题的关键.
举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
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