题目

在矩形ABCD中，AB=a，BC=b，M是BC的中点，DE⊥AM，垂足为E．
（1）如图①，求DE的长（用a，b表示）；
（2）如图②，若垂足E落在点M或AM的延长线上，结论是否与（1）相同？

提问时间：2021-04-03

答案

（1）∵M是BC的中点，BC=b，∴BM=12b，∴AM=AB2+BM2=a2+(b2)2=4a2+b22，∵∠BAM+∠DAE=∠BAD=90°，∠BAM+∠AMB=180°-90°=90°，∴∠AMB=∠DAE，又∵∠B=∠AED=90°，∴△ABM∽△DEA，∴DEAB=ADAM，DEa=b4a2+b22，...

（1）根据中点定义求出AM，再根据同角的余角相等求出∠AMB=∠DAE，然后利用两组角对应相等，两三角形相似求出△ABM和△DEA相似，根据相似三角形对应边成比例列式求解即可；
（2）结论不变，求解过程完全相同．

本题考点：勾股定理；矩形的性质．

考点点评：本题考查了矩形的性质，主要利用了勾股定理，相似三角形的判定与性质，根据垂足E变化，而相似的三角形始终不变考虑解答是解题的关键．