题目

已知x的三次方+bx的二次方+cx+d的系数都是整数.若bd+cd为奇数.求证：
求证：这个多项式不能表示为两个整系数的多项式的乘积.急!

提问时间：2021-04-03

答案

反证法：
设原式=(a1x²+b1x+c1)*(a2x+b2)
=a1a2x³+(b1a2+a1b2)x²+(c1a2+b1b2)x+c1b2
a1a2=1
b1a2+a1b2=b
c1a2+b1b2=c
c1b2=d
若a1、b1、c1、a2、b2均为整数
则a1=a2=1
因为bd+cd=d(b+c)为奇数,所以d为奇数,b+c为奇数
因为d=c1b2为奇数,所以c1、b2为奇数
b+c=b1a2+a1b2+c1a2+b1b2
=b1+b2+c1+b1b2
=b1(1+b2)+b2+c1
因为c1、b2为奇数,所以b2+c1为偶数、1+b2为偶数
所以b+c为偶数
与已知条件不符
所以假设的“a1、b1、c1、a2、b2均为整数”不成立