题目

如果实数a、b、c满足a+2b+3c=12，且a²+b²+c²=ab+ac+bc，则代数值a+b²+c³的值为______．

提问时间：2021-04-03

答案

∵a2+b2+c2=ab+ac+bc，⇒2a2+2b2+2c2=2ab+2ac+2bc，⇒（a2-2ab+b2）+（a-2ac+c2）+（b2-2bc+c2）=0，⇒（a-b）2+（a-c）2+（b-c）2=0，∴a-b=0、a-c=0、b-c=0，即a=b=c，又∵a+2b+3c=12，∴a=b=c=2，∴a+b2+c3=2+4+8...

首先将a²+b²+c²=ab+ac+bc式子左右两边同乘以2，移项、拆分项、利用完全平方式转化为（a-b）²+（a-c）²+（b-c）²=0．再根据非负数的性质得出a=b=c的关系．再结合a+2b+3c=12，求得a、b、c的值．最后将a、b、c的值代入a+b²+c³求得结果．

本题考点：因式分解的应用；非负数的性质：偶次方；代数式求值．

考点点评：本题考查因式分解的应用、代数式求值、非负数的性质．解决本题的关键是以a²+b²+c²=ab+ac+bc作为入手点，通过变换得到ab、c间的关系．