题目

已知f(x)满足f(1)=1,对于任意的实数x、y都满足f(x+y)=f(x)+f(y)+2y(x+y)+1,若x是正整数,则f(x)=?

提问时间：2021-04-03

答案

令y=1,可得：f(x+1)-f(x)=2x+4,类推
f(x)-f(x-1)=2(x-1)+4,
……
……
f(3)-f(2)=2*2+4,
f(2)-f(1)=2*1+4,
两边累加得：
f(x)-f(1)=2*[1+2+……(x-1)]+4*(x-1)
f(x)=2*x(x-1)/2+4*(x-1)+f(1)=(x+4)(x-1)+1=x^2+3x-3
但是回代后f(x+y)=(x+y)^2+3(x+y)-3=x^2+y^2+2xy+3x+3y-3
f(x)+f(y)+2y(x+y)+1=x^2+3x-3+y^2+3y-3+2xy+2y^2+1=x^2+3y^2+2xy+3x+3y-5
两边要相等就意味着y^2-3=3y^2-5,解为y=1或-1,怎么可能是任意实数都满足啊.
现在的老师出题水平真是差………………