题目

甲沿圆形跑道跑,已知跑第一圈用1分钟,第二圈用3分钟,第三圈用5分钟.即每跑一圈将比前一圈多花2分钟.
乙在甲跑了N分钟(N为奇数)后才开始从起点与甲同方向跑,已知乙开始跑时,甲不在起点上.乙跑步所花的时间与甲一样,跑第一圈用1分钟,第二圈用3分钟,第三圈用5分钟.即每跑一圈将比前一圈多花2分钟.
请问:能从以上条件,求出所有乙和甲同时在起点的时间(或此时他们跑完的整圈数)吗?
注:(1)题目是肯定至少有一个解的,因为甲乙跑的速度都越来越慢,当甲跑到某一圈刚好需要花N分钟时,此时甲刚好领先乙一圈,两人均在起点上面;
(2)解肯定是有限的.因为在上面情况(1)之后,甲跑任何一圈花的时间都将大于N分钟,乙落后甲N分钟,即不足一圈,双方再也不可能同时都在起点上.
(3)我想问的,就是如何通过以上条件,判定是否只有唯一解?如果不是唯一解,其他解如何求?

提问时间：2021-04-02

答案

首先,我对你的“注”做一下评价：
1.在题目的条件下一定有解
2.解是有限的,而且其个数和N的因子个数有关.确切的说解的个数等于N因子中小于根号N的个数.
3.从2中说明可以看出当且仅当N是素数（质数）或素数的平方时题目有唯一解.假设N因子中小于根号N的因子依次为c1,c2,...,ck,甲跑完a圈时乙恰好跑完b圈,则原题的k个解为：
a = (ci+N/ci)/2,b = (-ci+N/ci)/2,1≤i≤k.
下面是详细的解题过程：
设甲跑完a圈时乙恰好跑完b圈,则此时甲花的时间为
1+3+...+(2a-1) = a^2,(这个等式见【注】)
乙花的时间为
1+3+...(2b-1) = b^2.
根据题意,有
a^2 - b^2 = N
从而
(a+b)*(a-b) = N
因此,a+b与a-b都是N的因子,记a-b=c,我们有
a+b = N/c
从而可得：
a = (c+N/c)/2
b = (-c+N/c)/2
注意到 c^2 = (a-b)^2