题目

证明经过定点（x,y）的直线系方程为A1x+B1y+C1+λ(A2x+B2y+C2)=0和A2x+B2y+C2=0(λ为参数)
已知A1x+B1y+C1=0与A2x+B2y+C2=0的交点坐标为（x，y）。证明经过定点（x，y）的直线系方程为A1x+B1y+C1+λ(A2x+B2y+C2)=0和A2x+B2y+C2=0(λ为参数)

提问时间：2021-04-02

答案

证明：当A1x+B1y+C1=0且A2x+B2y+C2=0时,直线系方程成立.则它过两直线的交点.
(1)当斜率存在时：
将A1x+B1y+C1+λ(A2x+B2y+C2)=0化成斜截式得到斜率k=-(A1+λA2)/(B1+λB2)=-(A2(B1+λB2)/B2+A1-A2B1/B2)/(B1+λB2)=-(A2/B2+(A1-A2B1/B2)/B1+λB2)=k1+k2/x *
此时λ≠-B1/B2
由于两直线有交点,不平行,则A1/B1≠A2/B2,则k2≠0,y=k2/x取遍除0以外所有的实数,则(*)式满足k≠-A2/B2,又A2x+B2y+C2=0的斜率为-A2/B2.
所以直线系方程涵盖了所有斜率.
(2)斜率不存在.则λ=-B1/B2,此时必定A1+λA2≠0,平行于y轴的直线存在.
综上所述,直线系方程涵盖了所有情况.满足要求.
证毕.
注：其实直线系方程的写法有很多种,只要满足所有可能情况就行.比如设那两条直线的交点为(x0,y0),过这一点的直线系方程为y-y0=k(x-x0)和x=x0,其中k为参数.它们的意义是相同的.