题目

用数学归纳法证明命题：
（n+1）×（n+2）×…×（n+n）=2ⁿ×1×3×…×（2n-1）

提问时间：2021-04-02

答案

证明：①当n=1时，左边=2，右边=2¹×1，等式成立；
②假设当n=k时，等式成立，
即（k+1）×（k+2）×…×（k+k）=2^k×1×3×…×（2k-1）
则当n=k+1时，
左边=（k+2）×（k+3）×…×（k+k）×（k+k+1）×（k+1+k+1）
=2^k×1×3×…×（2k-1）×（k+k+1）×（k+1+k+1）
=2^k×1×3×…×（2k-1）×[2（k+1）-1]×（k+1）×2
=2^k+1×1×3×…×（2k-1）×[2（k+1）-1]
即n=k+1时，等式也成立．
所以（n+1）×（n+2）×…×（n+n）=2ⁿ×1×3×…×（2n-1）对任意正整数都成立．