题目

选修,椭圆,急
设椭圆X^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0)的左右焦点分别为F1.F2
（1）若A.B分别为椭圆的右顶点和上顶点,P为椭圆上的点,当PF1⊥F1A,OP‖AB(O为椭圆中心）时,求椭圆的离心率
（2）若在椭圆上存在一点P,使PF1⊥PF2,求圆心率的取值范围

提问时间：2021-04-02

答案

①∵PF1⊥F1A,OP‖AB
∴△PF1O∽△BOA
∴PF1/BO=OF1/AO
即(b²/a)/c=b/a
∴b=c
∴a=√2c
∴e=c/a=(√2)/2
②设PF1=m,则PF2=2a-m
∵PF1⊥PF2
∴m²+(2a-m)²=(2c)²
即m²-2am+2a²-2c²=0
∴△≥0
即(2a)²-4(2a²-2c²)≥0
∴8c²≥4a²
∴e²≥1/2
∴e≤-（√2）/2或e≥（√2）/2
又∵0〈e〈1
∴（√2）/2≤e〈1