题目

一个正三角体,其中边长为1mm,求这个三角体顶点到其重心点的距离,要求精确到小数点后4位.
假设这个三角体每个点上的密度相同

提问时间：2021-04-02

答案

正三角体,四个面全为相等的正三角形,正式名称：正四面体
体积V=1/3×底面积×高
设边长为a,底面三角形高=a*cos30°=√3/2*a
底面三角形重心与底面三角形顶点距离=a/2÷cos30°=√3/3*a=2/3底面三角形高
底面积=1/2*a*√3/2*a=√3/4*a
正四面体高=√(边长²－底面三角形重心与底面三角形顶点距离²)
=√[a²-(a/√3)²]=√6/3*a
连接个顶点与四面体重心,得四个全等的正三棱锥,
正三棱锥体积v=1/4正四面体体积V
正三棱锥高=1/4正四面体高=√6/12*a
正四面体顶点到其重心的距离=正四面体外接球半径
=正四面体高－正三棱锥高=3/4正四面体高=√6/4*a
a=1mm代入得：正四面体顶点到其重心的距离=0.6124mm