题目

设0＜θ＜π 求函数y=sinθ/2（1+cosθ)最大值

提问时间：2021-04-01

答案

y=sin(θ/2)(1+cosθ)=sin(θ/2).2[cos(θ/2)]^2
=2sin(θ/2)-2[sin(θ/2)]^3
另 t=sin(θ/2)
由于：（0,π）,故：
(θ/2)~(0,π/2)
因此：
[sin(θ/2)]~(0,1)
即是t的范围为：
(0,1)
因此：
y=2sin(θ/2)-2[sin(θ/2)]^3
=2t-2t^3 (0,1)
对y求导得：
y'=-6t^2+2
解得：
增区间为：[-√3/3,√3/3]
减区间为：(-∞,-√3/3]U[√3/3,+∞)
由于t~(0,1),故最大值为：
ymax=y(√3/3)
=2√3/3 - 2x(√3/3)^3
=4√3/9