题目

确定常数c的值,使∫(0,+∞)1/√(x²+4)-c/(x+2)dx收敛,并求出其值

提问时间：2021-04-01

答案

c=1.被积函数1/根号(x^2+4)--c/(x+2)=【(x+2)^2--c^2(x^2+4)】/【(x+2+c根号(x^2+4))(x+2)(根号(x^2+4))】,当c不等于1和--1时,分子分母同除以x^2,被积函数等价于(1--c^2)/(x+2+c根号(x^2+4))),肯定不收敛.当c=--1时,被积函数=1/根号(x^2+4)+1/(x+2)>1/(x+2),积分不收敛.
故c=1.
此时积分（从0到无穷）【1/根号(x^2+4)--1/(x+2)】dx
=【ln(x+根号(x^2+4))--ln(x+2)】|上限无穷下限0
=ln2