题目

ABCD四个人说真话的概率都是1/3.假如A声称B否认C说D是说谎了,那么D说过的那句话
D说的那句话是真话的概率是多少

提问时间：2021-04-01

答案

记“A声称B否认C说D说谎”为X,那么由贝叶斯公式,所求的
P(D真)P(X|D真)
P(D真|X) = -------------------------------
P(D真)P(X|D真) + P(D假)P(X|D假)
其中,P(D真) = 1/3,P(D假) = 2/3,需要进一步计算的是P(X|D真)和P(X|D假),即在D分别说真话和假话时,发生题中所述情况的概率.
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先看D说真话时（以下记号中省略此条件）：
P(C说D说谎) = P(C说谎) = 2/3
计算P(B否认C说D说谎)时,需要看C到底说没说“D说谎”.
如果C说了(2/3),那么B否认就是说谎(2/3)；
如果C没说(1/3),那么B否认就是说真话(1/3).
因此P(B否认C说D说谎) = 2/3 * 2/3 + 1/3 * 1/3 = 5/9.
再计算P(A声称B否认C说D说谎).
如果B否认了(5/9),那么A就是说真话(1/3)；
如果B没有否认(4/9),那么A就是说谎(2/3).
因此P(A声称B否认C说D说谎) = 5/9 * 1/3 + 4/9 * 2/3 = 13/27.
即P(X|D真) = 13/27.
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同理可计算得P(X|D假) = 14/27.
代入最上面的式子,可得P(D真|X) = 13/41.