题目

已知ab≠0，求证：a+b=1的充要条件是a³+b³+ab-a²-b²=0．

提问时间：2021-04-01

答案

证明：先证必要性：∵a+b=1，∴b=1-a∴a3+b3+ab-a2-b2=a3+（1-a）3+a（1-a）-a2-（1-a）2=a3+1-3a+3a2-a3+a-a2-a2-1+2a-a2=0再证充分性：∵a3+b3+ab-a2-b2=0∴（a+b）（a2-ab+b2）-（a2-ab+b2）=0即：（a2-ab+b2）（...

我们先假设，a+b=1再证明a³+b³+ab-a²-b²=0成立，即命题的必要性，再假设a³+b³+ab-a²-b²=0再证明a+b=1成立，即充分性，如果两者均成立，即可得到a+b=1的充要条件是a³+b³+ab-a²-b²=0．

本题考点：充要条件；综合法与分析法(选修）．

考点点评：本题考查的知识点是充要条件的证明，本类问题的处理一共分为三步：①证明必要性，②证明充分性，③得到结论．