题目

过抛物线y²=4x的焦点，作直线与抛物线相交于P、Q两点，求线段PQ中点的轨迹方程．

提问时间：2021-04-01

答案

∵y²=4x的焦点坐标为F（1，0）
∴当直线PQ的斜率k存在时，可设其方程的y=k（x-1），且k≠0
又设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），中点M的坐标为（x₀，y₀），则有：

2y0=y1+y2 2x0=x1+x2

而由题意，得

y 2 1 =4x1 y 2 2 =4x2

∴(y1+y2)(y1-y2)=4(x1-x2) ∴ y1-y2 x1-x2 = 4 y1+y2

∴k=

2

y0

…（4分）
∵点M（x₀，y₀）在直线PQ上

∴y0=k(x0-1) ∴ y 2 0 =2(x0-1)

即得线段PQ中点的轨迹方程为y²=2（x-1）…（5分）
而当直线PQ的斜率不存在时，有PQ⊥x轴，此时PQ的中点M，即为焦点F（1，0），满足y²=2（x-1）
综上，线段PQ中点的轨迹方程为y²=2（x-1）…（6分）

确定y²=4x的焦点坐标，分类讨论，利用点差法，即可求得结论．

本题考点：圆锥曲线的轨迹问题；抛物线的简单性质．

考点点评：本题考查轨迹方程，考查分类讨论的数学思想，考查学生的计算能力，属于中档题．