题目

已知一元二次方程：（1）mx²-4x+4=0；（2）x²-4mx+4m²-4m-5=0（m∈Z），求方程（1）和（2）的根都是整数的充要条件．

提问时间：2021-04-01

答案

方程（1）有实根⇔△₁=16-16m≥0，即m≤1，且m≠0，
方程（2）有实根⇔△₂=16m²-4(4m2−4m−5)≥0⇒m≥−

5

4

，且m≠0，
由−

5

4

≤m≤1且m∈Z得m＝−1，1．
当m=-1时，方程（1）为x²+4x-4=0，无整数解；
当m=1时，方程（1）有整数解x=2，方程（2）有整数解x=-1或5，
从而（1）、（2）都有整数解⇒m=1．
反过来，由m=1，可推得方程（1）、（2）都有整数解，
所以方程（1）、（2）都有整数解的充要条件是m=1．