题目

已知等腰三角形腰上的中线长为

3

，则该三角形的面积的最大值是 ___ ．

提问时间：2021-04-01

答案

根据题意画出图形，如图所示：设AB=AC=2a，由D是AB的中点，得到AD=DB=a，在△ADC中，根据余弦定理得：cosA=a2+4a2-32×a×2a=5a2-34a2，解得a2=35-4cosA，设△ADC的面积为S，则S=12a•2a•sinA=a2sinA=3sinA5-4cosA...

根据题意画出图形，如图所示，设出等腰三角形的腰长为2a，根据D为AB中点，得到AD等于a，在三角形ADC中，利用余弦定理表示出cosA，解出a2，然后根据三角形的面积公式表示出三角形ADC的面积，并设面积为S，对表示出的面积两边求导数，令导函数等于0求出cosA的值，由cosA的值讨论导函数的正负，得到函数的单调区间，根据函数的增减性得到函数的最大值，且函数取得最大值时cosA的值，由cosA的值和A的范围，利用同角三角函数间的基本关系求出sinA的值，代入S中即可求出三角形ADC面积的最大值，又因为CD为三角形ABC的中线，所以由三角形ADC面积的最大值得到三角形ABC面积的最大值．

本题考点：解三角形．

考点点评：此题考查学生灵活运用余弦定理及三角形的面积公式化简求值，会利用导数求闭区间上函数的最大值，掌握等腰三角形的性质，是一道中档题．