题目
已知定点A(1,1),B(3,3),动点P在x轴正半轴上,若∠APB取得最大值,则P点的坐标
A.(根号2,0)B.(根号3,0)C.(根号6,0)D.这样的点P不存在
A.(根号2,0)B.(根号3,0)C.(根号6,0)D.这样的点P不存在
提问时间:2021-04-01
答案
楼上说的没错~
由A、B两点坐标及位置特点,可以看出,动点P在x轴正半轴上的某个位置可能使∠APB取最大值.利用平面几何中的圆外角小于圆周角,设过AB且与x轴正半轴相切的圆与x轴的切点为P,则P点即为所求的点.
那么怎么求P呢?较常规的做法是设过AB且与x轴正半轴相切的圆的圆心为(x,y),则P(x,0).因为A,B,P三点俱在圆上,因此OA=OB=OP,三者平方也必定相等.
即y^2=(x-1)^2+(y-1)^2=(x-3)^2+(y-3)^2
由(x-1)^2+(y-1)^2=(x-3)^2+(y-3)^2可得y=4-x
因此(4-x)^2=(x-1)^2+(3-x)^2
解得x=根号6.因此选D.
上述方法比较容易想到,但计算有点麻烦.
其实在三角形OBP中,OAP和OPB是相似的,
因此OP/OB=OA/OP,所以OP^2=OA•OB=√2×√18=6
故OP=√6
(那么为什么△OAP∽△OPB呢?
因为∠POA=∠BOP,∠OAP=∠OPB
∠OAP=∠OPB,记得是一个定理,必要的话这里给出一种证明:
如图,∠OPB=∠OPC+∠1=90°+∠1
而在△OPB中,90°+∠1=180°-∠C
∠C=∠2,所以90°+∠1=180-∠2=∠OAP
因此∠OAP=∠OPB)
由A、B两点坐标及位置特点,可以看出,动点P在x轴正半轴上的某个位置可能使∠APB取最大值.利用平面几何中的圆外角小于圆周角,设过AB且与x轴正半轴相切的圆与x轴的切点为P,则P点即为所求的点.
那么怎么求P呢?较常规的做法是设过AB且与x轴正半轴相切的圆的圆心为(x,y),则P(x,0).因为A,B,P三点俱在圆上,因此OA=OB=OP,三者平方也必定相等.
即y^2=(x-1)^2+(y-1)^2=(x-3)^2+(y-3)^2
由(x-1)^2+(y-1)^2=(x-3)^2+(y-3)^2可得y=4-x
因此(4-x)^2=(x-1)^2+(3-x)^2
解得x=根号6.因此选D.
上述方法比较容易想到,但计算有点麻烦.
其实在三角形OBP中,OAP和OPB是相似的,
因此OP/OB=OA/OP,所以OP^2=OA•OB=√2×√18=6
故OP=√6
(那么为什么△OAP∽△OPB呢?
因为∠POA=∠BOP,∠OAP=∠OPB
∠OAP=∠OPB,记得是一个定理,必要的话这里给出一种证明:
如图,∠OPB=∠OPC+∠1=90°+∠1
而在△OPB中,90°+∠1=180°-∠C
∠C=∠2,所以90°+∠1=180-∠2=∠OAP
因此∠OAP=∠OPB)
举一反三
我想写一篇关于奥巴马的演讲的文章,写哪一篇好呢?为什么好
奥巴马演讲不用看稿子.为什么中国领导演讲要看?
想找英语初三上学期的首字母填空练习……
英语翻译
1,人们染上烟瘾,最终因吸烟使自己丧命.
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