题目

已知点A（√2,0）、B（-√2,0）两点,动点P在y轴上的射影为Q,向量：PA·PB=2(PQ)^2
(1)求动点P的轨迹E的方程（2）设直线m过点A,斜率为k,当0＜k＜1时,曲线E上支上有且只有一点C到直线m的距离为√2,试求k的值及此时点C的坐标
第一问不用求了 双曲线方程求出来为y^2-x^2=2

提问时间：2021-04-01

答案

(2)双曲线方程y^2-x^2=2,对x求导,y'=x/y,
设直线m方程为：y=k(x-√2)
设C(x0,y0)在双曲线上,C点切线斜率k1=x0/y0=k,
C到直线m的距离为d=|kx0-y0-k*√2|/√(k^2+1)=√2,|kx0-y0-k*√2|=√2√(k^2+1) ,
|x0^2/y0-y0-x0/y0*√2|=√2√((x0/y0)^2+1),
|(x0^2-y0^2-√2*x0)/y0 |=√2√((x0/y0)^2+1),
| (-2-√2*x0)/y0 |=√2√((x0/y0)^2+1),
两边平方,((-2-√2*x0)/y0 )^2=2*((x0/y0)^2+1),
(2+√2*x0)^2=2*(x0^2+y0^2)=2*(x0^2+2+x0^2) = 4*x0^2+4,
4+4√2*x0+2*x0^2= 4*x0^2+4,
x0^2-2√2*x0=0,
x0=0,x0=2√2,
当x0=0时,y0=√2,C点斜率=0,不合要求,舍;
当x0=2√2时,y0=√10,C点斜率=2/√5;则直线m的斜率k=2/√5,C点坐标（2√2,√10）