题目

1.已知函数y=根号3sinωxcosωx-cos^2ωx+3/2 (x∈R,ω∈R）的最小正周期为π,且当x=π/6时,函数有最小值.求（1）求函数解析式（2）求函数的单调递增区间.
2.已知函数f(x)=sin2x-2sin^2x(1)求最小正周期(2)求最大值及取最大值时x的集合.
3.在三角形ABC中,角ABC的对边分别是abc（全部都是向量）,证明cosB=(a^2+c^2-b^2)/2ac
4.已知向量a=(根号3,-1),向量b=(1/2,根号3/2(1)求证向量a垂直于向量b（2）若存在不同是为0的实数k和t,使x=a+(t-3)b,y=-ka+tb,且x垂直于y,试求函数关系式k=f(t)(3)在（2）的结论中,求k的最小值
5.已知向量OA=（3,-4）,OB=(6,-3)OC=(5m,-3-m)(1)若ABC能够成三角形,求实数m应满足的条件（2）若三角形ABC为直角三角形,且角A为直角,求实数m的值

提问时间：2021-04-01

答案

1、
(1)、y=√3/2sin2ωx-1/2cos2ωx+1=sin(2ωx-π/6)+1,T=2π/|2ω|=π,故|ω|=1,
又当x=π/6时,函数有最小值 ,所以ω=-1.
∴y=1- sin(2x+π/6).
(2)、由2kπ+π/2≤2x+π/6≤2kπ+3π/2,k∈Z.得kπ+π/6≤x≤kπ+2π/3,k∈Z,故函数的单调递增区间为[kπ+π/6,kπ+2π/3],k∈Z
2、
f(x)=sin2x-2sin^2x= sin2x+ cos2x-1=√2sin(2x+π/4)-1.
(1)T=2π/2=π.
(2).当2x+π/4=2kπ+π/2,k∈Z,即x= kπ+π/8,k∈Z时,函数f(x)的最大值为√2-1.
3、在三角形ABC中,由余弦定理,cosB=(a^2+c^2-b^2)/2ac
4、
(1)、a●b=(√3,-1)●(1/2,√3/2)= √3/2-√3/2=0.故a⊥b.
(2)、由 x垂直于y得x●y=0,故[a+(t-3)b]●[-ka+tb]=0
即t(t-3)b²-ka²=0,又a²=2,b²=1,k和t不同为0,
∴k=f(t)=t(t-3)/2.
(3)、 f(t)=t(t-3)/2.=(1/2)(t-3/2)²-9/8,
当t=3/2时,k的最小值为-9/8.
5、
(1)、若ABC能够成三角形,则A、B、C不共线.设向量AC=nAB (n∈R,n≠0)则（5m-3,1-m）=n(3,1),解得,m=3/4.
所以当m≠3/4时ABC能够成三角形.
(2)、当m≠3/4时若三角形ABC为直角三角形,则向量AB●AC=0,即(3,1)●（5m-3,1-m）=0,解得m=4/7,
所以m=4/7时,三角形ABC为直角三角形且角A为直角.