题目

设点p（m,n）在圆x2+y2=2上,l是过点p的圆的切线,切线l与函数y=x2+x+k（k属于R）的图像交于A,B两点
点o是坐标原点.
（1）若k=-2,点p恰好是线段AB的中点,求点p的坐标
（2）是否存在实数k,使得以AB为底边的等腰三角形OAB恰好有三个?若存在,求出k的范围；若不存在,说明理由

提问时间：2021-04-01

答案

(1)、首先得到L的方程m(x-m)+n(y-n)=0
与抛物线方程联立得
nx^2+(m+n)x+kn-(m^2+n^2)=0
即
nx^2+(m+n)x+kn-2=0 (*)
当n=0时,即斜率不存在时,l不可能与抛物线有两个交点,所以,n不为0,即L的斜率一定存在
于是
设A(x1,y1),B(x2,y2)
A、B在抛物线上,所以y1=x1^2+x1+k (a)
y2=x2^2+x2+k (b)
(a)-(b)整理得：
(y1-y2)/(x1-x2)=(x1+x2)+1
=2m+1
所以L方程可以写为 y-n=(2m+1)(x-m)
由(*)
x1+x2=-(m+n)/n,x1*x2=(kn-2)/n
y1+y2=x1^2+x2^2+(x1+x2)+2k
=(x1+x2)^2+(x1+x2)+2k-2x1*x2
=
又 k=2,且p(m,n)恰为AB中点,
所以,x1+x2=2m,即-（m+n）/n=2m
y1+y2=2n,即
整理得 2mn=-(m+n)
而P在圆上,所以m^2+m^2=2
联立求得
mn=1或-1/2 （**）//结果不一定正确,请你自己计算,这只是方法
又Δ=(m+n)^2-4n(2n-2)>0
即,mn