题目

已知x^2+y^2=1,x^2+z^2=2,y^2+z^2=2,求xy+xz+yz的最小值

提问时间：2021-04-01

答案

x^2+y^2=1,x^2+z^2=2,y^2+z^2=2
三式相加
2(x²+y²+z²)=5
x²+y²+z²=5/2
所以 x²=y²=1/2,z²=3/2
x=±√2/2,y=±√2/2,z=±√6/2
因为求 xy+xz+yz的最小值,所以 x,y,z只能是有正有负
总共八种情形,去掉x,y,z全正,全负的情形,
xy+xz+yz=xy+(x+y)z
（1） x=√2/2,y=√2/2,z=-√6/2 xy+xz+yz=1/2- √3
（2） x=√2/2,y=-√2/2,z=-√6/2 xy+xz+yz=-1/2
（3） x=√2/2,y=-√2/2,z=√6/2 xy+xz+yz=-1/2
（4） x=-√2/2,y=√2/2,z=-√6/2 xy+xz+yz=-1/2
（5） x=-√2/2,y=√2/2,z=√6/2 xy+xz+yz=-1/2
（6） x=-√2/2,y=-√2/2,z=√6/2 xy+xz+yz=1/2- √3
所以 ,最小值为1/2- √3