题目

若m>1>n>0,则m+1/mn+1/m（1-n）的最小值,

提问时间：2021-04-01

答案

基本的想法是先固定m,求n使表达式最小(用m表达),再对m求最小值.
由0 < n < 1,根据均值不等式有n(1-n) ≤ ((n+(1-n))/2)² = 1/4.
于是1/n+1/(1-n) = 1/(n(1-n)) ≥ 4,进而1/(mn)+1/(m(1-n)) ≥ 4/m.
仍由均值不等式,m+4/m ≥ 2·√(m·(4/m)) = 4.
即m+1/(mn)+1/(m(1-n)) ≥ m+4/m ≥ 4.
可验证当m = 2,n = 1/2时等号成立,即最小值为4.