题目

已知f(x)=ax-2/x-3lnx,其中a为常数.
1,当函数f(x)的图象在点（2/3,f(2/3)）处的切线斜率为1,当函数f(x)的图象在点（2/3,f(2/3)）处的切线斜率为1时,求f(x)在[3/2,3]上的最小值
2,若f(x)在(0,正无穷)上既有最大值又有最小值,求a的取值范围

提问时间：2021-04-01

答案

1)f'(x)=a+2/x^2-3/x
f'(2/3)=1
a=1
f(x)=x-2/x-3lnx
f'(x)=1+2/x^2-3/x=(x-1)(x-2)/x^2
x∈[3/2,2],f'(x)<=0,单调递减
x∈(2,3],f'(x)>0,单调递增
最小值在x=2时取得,f(2)=1-3ln2
2)f'(x)=(ax^2-3x+2)/x^2,既有最大值又有最小值,说明f'(x)有两个不同解,且需要都在（0,+∞）范围内,所以
a≠0,△＞0,两根之和3/a>0,两根之积2/a>0,
a∈（0,9/8）