题目

已知a1+a2+a3=b1+b2+b3,a1*a2+a2*a3+a1*a3=b1*b2+b2*b3+b1*b3 若已知min{a1,a2,a3}

提问时间：2021-04-01

答案

设a1+a2+a3=b1+b2+b3=p
a1a2+a2a3+a1a3=b1b2+b2b3+b1b3=q
再设a1a2a3=m,b1b2b3=n
那么a1,a2,a3、b1,b2,b3分别是方程
x^3-px^2+qx-m=0
x^3-px^2+qx-n=0的解
画出f(x)=x^3-px^2+qx图像,然后画出y=m,y=n的直线,交点即为a1,a2,a3、b1,b2,b3
由于式子是完全对称的,可以假设a1≤a2≤a3,b1≤b2≤b3
这样,a1,b1、a3,b3必然在f(x)的两个增区间内
由于a1,b1都在f(x)左边的增区间内,显然当a1≤b1的时候,有f(a1)=m≤n=f(b1)
而a3,b3在f(x)右边的增区间内,当f(a3)=m≤n=f(b3)时,必然有a3≤b3
证明完毕
供参考