题目
在△ABC中,已知a、b、c分别为角A、B、C的对边,求证:a2sin2B+b2sin2A=2absinC.
提问时间:2021-04-01
答案
证明:∵△ABC中,
=
=
=2R(R为外接圆的半径)
∴a=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinC,
∴a2sin2B+b2sin2A=2a2sinB•cosB+2b2sinA•cosA
=8R2sinA•sinB•(sinAcosB+sinBcosA)
=8R2sinA•sinB•sin(A+B)
=8R2sinA•sinB•sin(π-C)
=8R2sinA•sinB•sinC,
又2absinC=2•2RsinA•2RsinB•sinC=8R2sinA•sinB•sinC,
∴a2sin2B+b2sin2A=2absinC.
a |
sinA |
b |
sinB |
c |
sinC |
∴a=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinC,
∴a2sin2B+b2sin2A=2a2sinB•cosB+2b2sinA•cosA
=8R2sinA•sinB•(sinAcosB+sinBcosA)
=8R2sinA•sinB•sin(A+B)
=8R2sinA•sinB•sin(π-C)
=8R2sinA•sinB•sinC,
又2absinC=2•2RsinA•2RsinB•sinC=8R2sinA•sinB•sinC,
∴a2sin2B+b2sin2A=2absinC.
举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
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