题目
一道高二数学归纳法题,
数列{an}中a1=1,a(n+1)>an且(a(n+1)+an-1)^2=4a(n+1)an设bn=(√an)
1.求证:{bn}是等差数列
2.求{an}的通项公式
数列{an}中a1=1,a(n+1)>an且(a(n+1)+an-1)^2=4a(n+1)an设bn=(√an)
1.求证:{bn}是等差数列
2.求{an}的通项公式
提问时间:2021-04-01
答案
因为a(n+1)≥an≥a1
所以an>0
[a(n+1)+an-1]²=4a(n+1)an
那么[a(n+1)]²+2a(n+1)an+an²-2a(n+1)-2an+1=4a(n+1)an
[a(n+1)]²-2a(n+1)an+an²-2a(n+1)+2an+1=4an
[a(n+1)-an]²-2[a(n+1)-an]+1=4an
[a(n+1)-an-1]²=4an
a(n+1)-an-1=2√an 或 1+an-a(n+1)=2√an
如果a(n+1)-an-1=2√an
a(n+1)=an+2√an+1=(√an+1)²
√a(n+1)=√an+1
所以{bn}是以1为首项,1为公差的等差数列
如果 1+an-a(n+1)=2√an
(√an-1)²=a(n+1)
√an-1=√a(n+1)
所以{bn}是以1为首项,-1为公差的等差数列
综上,{bn}是等差数列
所以an>0
[a(n+1)+an-1]²=4a(n+1)an
那么[a(n+1)]²+2a(n+1)an+an²-2a(n+1)-2an+1=4a(n+1)an
[a(n+1)]²-2a(n+1)an+an²-2a(n+1)+2an+1=4an
[a(n+1)-an]²-2[a(n+1)-an]+1=4an
[a(n+1)-an-1]²=4an
a(n+1)-an-1=2√an 或 1+an-a(n+1)=2√an
如果a(n+1)-an-1=2√an
a(n+1)=an+2√an+1=(√an+1)²
√a(n+1)=√an+1
所以{bn}是以1为首项,1为公差的等差数列
如果 1+an-a(n+1)=2√an
(√an-1)²=a(n+1)
√an-1=√a(n+1)
所以{bn}是以1为首项,-1为公差的等差数列
综上,{bn}是等差数列
举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
我想写一篇关于奥巴马的演讲的文章,写哪一篇好呢?为什么好
奥巴马演讲不用看稿子.为什么中国领导演讲要看?
想找英语初三上学期的首字母填空练习……
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