题目

已知AB分别是双曲线C X^2-Y^2=4的左右顶点,则P是双曲线上在第一象限内的任一点
已知AB分别是双曲线C X^2-Y^2=4的左右顶点,则P是双曲线上在第一象限内的任意一点,角PBA与角PAB之差

提问时间：2021-04-01

答案

设p(x,y),则x>2,y>0
因为AB分别是双曲线C X^2-Y^2=4的左右顶点
所以A（-2.0）B（2,0）
设∠PBA=α,∠PAB=β
则α为钝角,β为锐角
sin(180°-α）=y/根号[(x-2)^2+y^2],cos(180°-α）=(x-2)/根号[(x-2)^2+y^2],
则sinα=sin(180°-α）=y/根号[(x-2)^2+y^2],
cosα=-cos(180°-α）=-(x-2)/根号[(x-2)^2+y^2],
sinβ==y/根号[(x+2)^2+y^2],
cosβ=(x+2)/根号[(x+2)^2+y^2],
所以sin(α-β)=sinαcosβ-cosαsinβ
={y/根号[(x-2)^2+y^2]}{(x+2)/根号[(x+2)^2+y^2]}-{-(x-2)/根号[(x-2)^2+y^2]}{y/根号[(x+2)^2+y^2]}=2xy/根号{[(x-2)^2+y^2][(x+2)^2+y^2]}
又X^2-Y^2=4
y=根号（x^2-4)
所以sin(α-β)=[2x根号（x^2-4)]/{[(x-2)^2+x^2-4][(x+2)^2+x^2-4]}=1
而0°