题目

已知函数f(x)=5+lnx,g(x)=kx/x+1
若函数f(x)在点(1,f(1))处的切线与函数y=g(x)的图象相切,求k值

提问时间：2021-04-01

答案

f'(x)=1/x,
斜率=f'(1)=1,又f(1)=5
所以切线为y-5=f'(1)·(x-1),
即 y=x+4
由条件y=x+4也是g(x)的切线.
而g'(x)=[k(x+1)-kx]/(x+1)²=k/(x+1)²
设切点为(a,g(a)),代入切线方程,得g(a)=a+4,
即 ak/(a+1)=a+4
ak=(a+1)(a+4) ①
又由于切线的斜率为1,则g'(a)=1,即
k/(a+1)²=1
k=(a+1)² ②
两式联立,注意到a>0,解得a=2,k=9.