题目
已知n,k均大于1 的整数,求证:1+1/2k次方+1/3k次方+…..+1/nk次方 ﹤2
提问时间:2021-04-01
答案
这题要用放缩法结合数学归纳法证明,证明如下:
(1)当k=2时,原式左边=1+1/2^2+1/3^2+...+1/n^2
而注意到1/n^2<1/[n(n-1)]=1/(n-1)-1/n,(n>=2)
于是1+1/2^2+1/3^2+...+1/n^2<1+1-1/2+1/2-1/3+...+1/(n-1)-1/n=2-1/n<2
即当k=2时结论显然成立.
(2)假设k=x时结论1+1/2^x+1/3^x+...+1/n^x<2成立.则当k=x+1时,注意到此时有y原式左边=1+1/2^(x+1)+1/3^(x+1)+...+1/n^(x+1)
而由于n是大于等于2的整数,于是显然有从第二项开始i^(x+1)于是1+1/2^(x+1)+1/3^(x+1)+...+1/n^(x+1)<1+1/2^x+1/3^x+...+1/n^x<2
即囊k=x+1时结论也成立.
综合(1)、(2)知1+1/2^k+1/3^k+...+1/n^k<2对n∈N*,k∈N*,n,k>=2都成立.
(1)当k=2时,原式左边=1+1/2^2+1/3^2+...+1/n^2
而注意到1/n^2<1/[n(n-1)]=1/(n-1)-1/n,(n>=2)
于是1+1/2^2+1/3^2+...+1/n^2<1+1-1/2+1/2-1/3+...+1/(n-1)-1/n=2-1/n<2
即当k=2时结论显然成立.
(2)假设k=x时结论1+1/2^x+1/3^x+...+1/n^x<2成立.则当k=x+1时,注意到此时有y原式左边=1+1/2^(x+1)+1/3^(x+1)+...+1/n^(x+1)
而由于n是大于等于2的整数,于是显然有从第二项开始i^(x+1)于是1+1/2^(x+1)+1/3^(x+1)+...+1/n^(x+1)<1+1/2^x+1/3^x+...+1/n^x<2
即囊k=x+1时结论也成立.
综合(1)、(2)知1+1/2^k+1/3^k+...+1/n^k<2对n∈N*,k∈N*,n,k>=2都成立.
举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
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