题目

如图所示的等腰梯形是一个简易水槽的横断面，已知水槽的最大流量与横断面的面积成正比，比例系数为k（k＞0）．

（Ⅰ）试将水槽的最大流量表示成关于θ函数f（θ）；
（Ⅱ）求当θ多大时，水槽的最大流量最大．

提问时间：2021-04-01

答案

（1）设水槽的截面面积为S，则S=12[a+(a+2acosθ)]•asinθ=a2sinθ（1+cosθ）则f（θ）=kS=a2ksinθ（1+cosθ），θ∈(0，π2)．（2）因为f'（θ）=a2k（2cos2θ+cosθ-1），令f'（θ）=0，则2cos2θ+cosθ-1=0，...

（1）设水槽的截面面积为S，则S=

1

2

[a+(a+2acosθ)]•asinθ=a²sinθ（1+cosθ），由此能将水槽的最大流量表示成关于θ函数f（θ）．
（2）因为f'（θ）=a²k（2cos²θ+cosθ-1），令f'（θ）=0，则2cos²θ+cosθ-1=0，解得cosθ=

1

2

或cosθ=-1．由此能求出当θ＝

π

3

时，水槽的流量最大．

本题考点：函数模型的选择与应用．

考点点评：本题考查函数问题的实际应用，解题时要认真审题，寻找数量间的等量关系，合理地建立函数关系进行求解．