题目

甲、乙 两地相距100km，汽车从甲地匀速行驶到乙地，速度不超过60km/h，已知汽车每小时的运输成本（元）由可变部分和固定部分组成，可变部分与速度x（km/h）的平方成正比例，比例系数为

1

60

提问时间：2021-04-01

答案

（Ⅰ）由题意，汽车全程行驶时间为

100

x

小时；汽车每小时的运输成本的可变部分为

1

60

x2元；汽车每小时的全部运输成本为（

1

60

x2+60）元；
所以，所求的函数为y＝

100

x

(

1

60

x2+60)，即y＝

5

3

x+

6000

x

（0＜x≤60）．
（Ⅱ）设x₁，x₂是（0，60]上的任意两个实数，且x₁＜x₂，则
f(x1)−f(x2)＝(

5

3

x1+

6000

x1

)−(

5

3

x2+

6000

x2

)

＝ 5 3 x1− 5 3 x2+ 6000 x1 − 6000 x2

=

5

3

（x₁-x₂）（1−

3600

x1x2

）
∵0＜x₁＜x₂≤60，∴x₁-x₂＜0，1−

3600

x1x2

＜0，
∴f（x₁）-f（x₂）＞0，即f（x₁）＞f（x₂）．
所以，函数f(x)＝

5

3

x+

6000

x

在（0，60]上是减函数．
因此，当x=60时，ymin＝

5

3

×60+

6000

60

＝200．
故当速度为60km/h时，全程的运输成本最小，最小成本为200元．