题目

十万火急!
f(x)=alnx（x＞1,a∈R）,g(x)=x³+4x²（x≤1）已知：分别存在P,Q在g(x)、f(x)上,△POQ为直角顶点在原点上的直角三角形,且PQ中点在y轴上.求证：a＞½
我的解法：由题意得：Xp+Xq=0,设P（x,alnx）则Q(-x,-x³+4x²) （x＞1）
∵直角顶点在原点 ∴向量OP点积向量OQ=0 可得出a的等式：a=1/（4-x）lnx
设h(x)=a 令h'(x)=0则有lnx=x分之四-1 此时a取最小值
即lnx=x分之四-1时a取到最小值 将lnx=x分之四-1代入a=1/(4-x)lnx中
可得a取最小值时有a=4/(x-4)² 假设a＞½则4/(x-4)²＞½
解之得x∈（2,8） 即x∈（2,8）时h'(x)=0有解
∵h'(2)＜0,h'(8)＞0 ∴x∈（2,8）时h'(x)=0有解成立
∴假设成立 ∴a＞½成立
这么解有疏漏吗?希望有“求a的值域再与½比较”这样的解法,解法多多益善.明早就要!
PS：网上找不到答案艾

提问时间：2021-04-01

答案

这么解肯定有问题,因为你不能假设 a > ½；如果要用反证法,你只能假设a ≤ ½假设a > ½,那你用的是逆命题；逆命题成立,原命题不一定成立首先说说题目,和我的做法前面的步骤和你相同,得到a=1/(4 - x)lnx...