题目

已知定义域[0,1]的函数f(x)同时满足三个条件：①对任意的x∈[0,1],总有f(x)≥0；②f(1)=1；③x1≥0,x2≥0,x1+x2≤1,则有f（x1+x2）≥f（x1）+f（x2）成立.
（1）求f（0）的值
（2）函数g（x）=2＾x-1在[0,1]上是否同时满足①②③?

提问时间：2021-04-01

答案

1.
根据3
f(1)=f(0+1)>=f(0)+f(1)
f(0)<=0
根据1
所以f(0)=0
2.
验证1
g（x）=2＾x-1
指数函数 单调递增
g(x)min=g(0)=0
1成立
验证2
g(x)max=g(1)=1
2成立
验证3
设x1≥0,x2≥0,x1+x2≤1
f（x1+x2）-（f（x1）+f（x2））
=2^(x1+x2)-1-(2^x1-1+2^x2-1)
=2^(x1+x2)-2^x1-2^x2+1
配凑
=(2^x2-1)(2^x1-1)>=0
所以f（x1+x2）≥f（x1）+f（x2）
3成立
综上g（x）满足 1,2,3