题目
∫1/(√x+(√x)^4)dx如何求导
写错了,不是求导,是求积分
写错了,不是求导,是求积分
提问时间:2021-04-01
答案
令√x =t,那么
原积分
=∫1/(t+t^4) d(t^2)
=∫2/(1+t^3) dt
=2/3 * ∫ [1/(1+t) - (t-2)/(t^2-t+1)] dt
显然∫ 1/(1+t) dt=ln|1+t| +C (C为常数)
而
∫ (t-2)/(t^2-t+1) dt
= ∫ (t- 0.5)/(t^2-t+1) dt - ∫ 1.5 /(t^2-t+1) dt
其中
∫ (t- 0.5)/(t^2-t+1) dt
= ∫ 0.5/(t^2-t+1) d(t^2-t+1)
=0.5ln|t^2 -t+1| +C (C为常数)
而
∫ 1.5 /(t^2-t+1) dt
=1.5 *∫ 1/ [(t-1/2)^2+ 3/4] dt
=∫ 2 / [4/3 *(t-1/2)^2+ 1] dt
=√3 *∫ 1 / [(2t/√3 -1/√3)^2+ 1] d(2t/√3 -1/√3)
=√3 * arctan(2t/√3 -1/√3) +C (C为常数)
所以
原积分
=2/3 * [ln|1+t| - 0.5ln|t^2 -t+1| +√3 * arctan(2t/√3 -1/√3)] +C 代回√x =t
=2/3 * [ ln|1+√x| -0.5ln|x-√x+1| +√3 * arctan(2√x/√3 -1/√3)] +C (C为常数)
原积分
=∫1/(t+t^4) d(t^2)
=∫2/(1+t^3) dt
=2/3 * ∫ [1/(1+t) - (t-2)/(t^2-t+1)] dt
显然∫ 1/(1+t) dt=ln|1+t| +C (C为常数)
而
∫ (t-2)/(t^2-t+1) dt
= ∫ (t- 0.5)/(t^2-t+1) dt - ∫ 1.5 /(t^2-t+1) dt
其中
∫ (t- 0.5)/(t^2-t+1) dt
= ∫ 0.5/(t^2-t+1) d(t^2-t+1)
=0.5ln|t^2 -t+1| +C (C为常数)
而
∫ 1.5 /(t^2-t+1) dt
=1.5 *∫ 1/ [(t-1/2)^2+ 3/4] dt
=∫ 2 / [4/3 *(t-1/2)^2+ 1] dt
=√3 *∫ 1 / [(2t/√3 -1/√3)^2+ 1] d(2t/√3 -1/√3)
=√3 * arctan(2t/√3 -1/√3) +C (C为常数)
所以
原积分
=2/3 * [ln|1+t| - 0.5ln|t^2 -t+1| +√3 * arctan(2t/√3 -1/√3)] +C 代回√x =t
=2/3 * [ ln|1+√x| -0.5ln|x-√x+1| +√3 * arctan(2√x/√3 -1/√3)] +C (C为常数)
举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
我想写一篇关于奥巴马的演讲的文章,写哪一篇好呢?为什么好
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