题目

已知奇函数f（x）在（-∞，0）上单调递减．且f（2）=0，则不等式（x-1）f（x-1）＞0的解集为______．

提问时间：2021-04-01

答案

∵函数f（x）为奇函数且在（-∞，0）上单调递减，
∴f（x）在（0，+∞）上也单调递减，
∴（x-1）f（x-1）＞0可变形为

x-1＞0 f(x-1)＞0

  ①或

x-1＜0 f(x-1)＜0

  ②
又∵函数f（x）为奇函数且f（2）=0，∴f（-2）=-f（2）=0
∴不等式组①的解为

x-1＞0 x-1＜2

，即1＜x＜3；
不等式组①的解为

x-1＜0 x-1＞-2

，即-1＜x＜1
∴不等式（x-1）f（x-1）＞0的解集为{x|-1＜x＜1或1＜x＜3}
故答案为{x|-1＜x＜1或1＜x＜3}

先根据函数f（x）的奇偶性以及函数在区间（-∞，0）上的单调性，判断函数在区间（0，+∞）的单调性，再把不等式（x-1）f（x-1）＞0变形为两个不等式组，根据函数的单调性分情况解两个不等式组，所得解集求并集即可．

本题考点：函数奇偶性的性质．

考点点评：本题主要考查综合运用函数的单调性与奇偶性解不等式，做题时不要忘记考虑函数在区间（0，+∞）的单调性，研究此类题最好作出函数图象辅助判断