题目

过抛物线x2=4y的对称轴上任一点P(0,m),(m>0)作直线L,L与抛物线交于A,B两点
1.若∠AOB为钝角,（O为坐标原点）求m的取值范围
2.若P为抛物线的焦点,过P且与L垂直的直线L1与抛物线交与CD两点,设AB,CD中点分别为MN,求证：直线MN必过定点.

提问时间：2021-04-01

答案

1、由题意设A（c,c^2/4) B(d,d^2/4)
|AB|^2=(c-d)^2+(c^2/4-d^2/4)^2
|OA|^2=c^2+c^4/16
|OB|^2=d^2+d^4/16
|OA|^2+|OB|^2-|AB|^2==c^2+c^4/16+d^2+d^4/16-(c-d)^2-(c^2/4-d^2/4)^2=2cd+c^2d^2/8
又A.B在直线L上,L：y=kx+m
c^2/4=ck+m
d^2/4=kd+m
把cd看作方程x^2-4kx-4m=0两根,k^2+4m>0
求得cd=-4m,c+d=4k,代入上式,
|OA|^2+|OB|^2-|AB|^2=-8m+2m^20)
即m^2-4m