题目

四个人每人一本书,求都拿不到自己的书的概率?求详解.

提问时间：2021-04-01

答案

3*3/4*3*2=3/8
思路：
设An为n个人不拿自己书的组合数.
从1个人开始考察 A1=0
2个人只有1种 A2=1
3个人只有两种 A3=2
到这里我们需要建立一个规则以便于计算 “都拿不到自己的书” 的情况.
设N个人,A B C. 假设 A先拿了B 的书, 那么我们让B接着拿 ,这样就分成2种情况： B拿A的书,和 B不拿A的书
B拿A的书： 则剩下没拿的人数为N-2,情况等同于A(N-2).
B不拿A的书： B自己的书被A拿了,却不能拿A剩下的书.这样等同于没有A,而B自己的书还在,即总数为N-1的初始状态,情况等同于A(N-1).
由于A拿第一次时有N-1种可能
于是有
An=(n-1)(A(n-1)+A(n-2))
A1=0 A2=1

递推式代入有
A4=3*(2+1)=9
4本书4人拿,共有P(4,4)=4!=24种拿法
概率为9/24=3/8
以这样的思路就算是10个人也可以迅速算出.你可以尝试计算5,6,7个人的情况.


思路2：
把有人拿到自己书的情况全部减去.
（A2=(2-1)(A1+A0) ,A0=1.定义A0仅仅为式子整洁,没有实际意义.）
4人均拿到：C4,4 ,余下0人没拿到.3人拿到：C(3,4),余下1人没拿到.2人拿到：C(2,4),余下2人没拿到,1人拿到：C(1,4),余下3人没拿到.
C(4,4)*A0+C(3,4)*A1 + C(2,4)*A2 + C(1,4)*A3
=1+0+6*1+4*2=15
1-15/4!=1-5/8=3/8

注：An=(n-1)(A(n-1)+A(n-2))的通项公式 An=n!(1-1/1!+1/2!-1/3!+...+(-1)^n*1/n!)就是运用以上两条思路和容斥原理结合计算出来的.