题目

简单对数复变函数
积分(下限0，上限+无穷大) ln(x)/(1+x^4) dx
原式=复平面上上半个无限大区间上的积分/2
分母=(1+x^4)=(1+x)(1-x)(i+x)(i-x)
奇点为x=1,-1,i,-i,属于上半区间的是1和i
所以原式=2(pi)i*[Res(1)+Res(i)]
Res(1)=ln(1)/[(1+1^2)(1+1)]=0
Res(i)=ln(i)/[(1-i^2)(i+i)]=ln(i)/(4i)
所以原式=(1/2)2(pi)i*ln(i)/(4i)=(pi)ln(i)/4
可是ln(i)=(pi)i/2
所以原式=(pi)^2*i/8
结果是个复数……不过这是个实积分，请问错在哪里……

提问时间：2021-04-01

答案

首先大致看一下这个积分是不是收敛.
两个可能的奇点：0和无穷远.
0的地方,差不多是lnx,而lnx的原函数是xlnx-x,它在0点有极限,是0,因此原来这个积分在0这里是收敛的.
无穷远的地方,分母是4次的,分子比x的任何正次幂要小,所以也是收敛的.
然后算这个积分.我用实函数的办法没算出来.用留数的办法大概可以算.考虑这样的区域：A(R,r)={z在复平面的第一象限,而且r<|z|r.给这个区域一个逆时针的定向,然后让lnz/(1+z^4)沿着它的边积分.注意A(R,r)不包含原点而且单连通,所以lnz在A(R,r)上可以单值地定义.这个区域有四条边：一个看上去是逆时针的大圆弧,半径是R；一条从r到R的水平边；一条从iR到ir的向下方向的竖直边；一个看上去是顺时针的半径为r的小圆弧.这个积分的值,只要r<1考虑r趋于0,R趋于正无穷的情形.这时候被积函数的绝对值,当R足够大的时候,在那个大圆弧上可以全都小于R^(-3),那么在那上面的积分就趋于0,因此这条弧可以不管；小圆弧上,当r趋于0的时候,被积函数差不多是lnz,这段上的定积分是(ir)ln(ir)-ir-rlnr+r,这个在r趋于0的时候也趋于0,所以这个小圆弧也不用管了.横着的边就是我们要的积分,记成I.竖着的边上,注意积分是从上向下的,所以是-iln(ix)/(1+x^4)dx在正半个实轴上的积分,是-iI-iJlni,其中J是1/(1+x^4)在正半轴上的积分,这个可以直接把它化成部分分式算一下,能算出数.这样的话,I-iI-(ilni)J=2(pi)iRes(z0).算出J和Res(z0)就能算出I了.